Априорное оценивание времени быстродействия для линейных дискретных систем с ограниченным управлением на основе аппарата собственных множеств

Рассматривается линейная система с дискретным временем и ограниченным управлением. Предполагается, что матрица системы является невырожденной и диагонализируемой посредством преобразования подобия, а множество допустимых значений управлений представляет собой выпуклый компакт. Для заданной системы изучается задача быстродействия, в частности, требуется построить априорные оценки оптимального значения времени быстродействия как функции от начального состояния и параметров системы, которые не требуют точного построения класса множеств 0-управляемости. Для решения разработан аппарат собственных множеств линейного преобразования, сформулированы и доказаны базовые свойства нетривиальных собственных множеств. Для простейшего случая, когда множество допустимых значений управлений представляет собой нетривиальное собственное множество матрицы системы, функция времени быстродействия для заданного начального состояния построена явно. Для произвольной системы управления предложен метод сведения к простейшему случаю посредством построения внутренней и внешней аппроксимации множества ограничений на управляющие воздействия. Приведены численные расчеты, демонстрирующие эффективность и точность разработанной методики.

Введение

Задача быстродействия известна достаточно давно как задача оптимального управления с естественным функционалом качества – времени, затрачиваемого системой на достижение некоторого заданного терминального состояния [2, 10, 11]. При рассмотрении систем с непрерывным временем данная задача не обладает какими-либо существенными особенностями, выделяющими ее из общей проблематики теории оптимального управления. Решение, полученное на основе принципа максимума Понтрягина [Понтрягин, 1969], гарантирует релейный характер управления для линейных систем.

В то же время системы с дискретным временем имеют ряд фундаментальных отличий от непрерывных систем при построении оптимального управления [3, 4, 12]. Тогда как в непрерывном случае оптимизационная задача является задачей вариационного исчисления, в дискретном времени она представляет собой задачу выпуклого программирования. Данный факт определяет принципиально иной набор средств для построения оптимальных процессов в дискретном случае. Но, несмотря на то, что посредством дискретного принципа максимума [12, 15] и метода динамического программирования [Беллман, 1960] удается решить большую часть задач теории оптимального управления дискретными системами, для задачи быстродействия они оказываются неприменимыми в силу нерегулярности экстремума почти для всех начальных состояний, неединственности оптимальной траектории и дискретного характера критерия качества управления – числа шагов, необходимого для достижения фиксированного терминального состояния из заданного начального [6, 7]. Например, использование известных современных результатов по оптимальному управлению дискретными системами [17, 18, 20, 22] по отношению к задаче быстродействия оказывается некорректным.

В связи с этим приобретает актуальность поиск альтернативных подходов для решения поставленной задачи. На данный момент продемонстрировал свою эффективность метод, базирующийся на использовании множеств 0-управляемости – множеств тех начальных состояний, из которых за конечное число шагов можно перевести систему в начало координат посредством выбора допустимого управления [5, 6, 8, 14]. При этом доказано, что метод решения во многом зависит от ограничений, накладываемых на управление. В случае строго выпуклых ограничений для построения оптимального по быстродействию управления удается модифицировать известный принцип максимума [6, 7]. Если множество допустимых значений управлений представляет собой многогранник, на основе метода динамического программирования решение исходной задачи может быть сведено к решению ряда задач линейного программирования [5, 8]. Также в [Ибрагимов, 2021] описан метод сведения случая произвольных выпуклых ограничений на управление к случаю линейных ограничений за счет проведения полиэдральной аппроксимации множества допустимых значений управления.

Существенным недостатком результатов статей [5, 6, 8] является отсутствие оценок сложности представленных там алгоритмов. Более того, сложность данных методов напрямую зависит от числа множеств 0-управляемости, которые будет необходимо построить для заданного начального состояния, которое совпадает с оптимальным значение критериальной функции в задаче быстродействия. Т.е. для вычисления сложности исследуемой задачи необходимо ее решить.

Целью данной статьи является построение оценок времени быстродействия в виде функций от начального состояния и параметров системы. Полученное решение базируется на аппроксимации множества допустимых значений управлений собственными множествами матрицы системы – такими множествами, образы которых оказываются конгруэнтными прообразу для заданного линейного преобразования [16, 19]. Успешное проведение аппроксимации позволяет свести задачу построения каждого множества 0-управляемости к вычислению суммы геометрической прогрессии, количество слагаемых в которой и является оценкой времени быстродействия.

Постановка задачи

$\begin{array}{c}x(k+1)=\mathit{Ax}(k)+u(k),\\ x(0)=x_0,u(k)\in U,k\in N\cup \{0\},\end{array}$

$N_{\mathit{min}}=\mathit{min}\left\{N\in N\cup \{0\}\mathrm{:}\exists u(0),\dots ,u(N-1)\in U\mathrm{:}x(N)=0\right\}.$

$X(N)=\{\begin{array}{cc}\{x_0\in R^n\mathrm{:}\exists u(0),\dots ,u(N-1)\in U\mathrm{:}x(N)=0\},& N\in N,\\ \{0\},& N=0.\end{array}$ 2

$N_{\mathit{min}}=\mathit{min}\{N\in N\cup \{0\}\mathrm{:}{x}_0\in X(N)\}.$ 33

Однако такой подход является весьма трудоемкой процедурой, что обусловлено следующим представлением множеств 0-управляемости.

По этой причине оказывается актуальной задача явного построения зависимости

$N_{\mathit{min}}=N_{\mathit{min}}(x_0;A,U)$ 44

либо построения оценок

Собственные множества линейного преобразования

$AU=\{x\in R^n\mathrm{:}x=\mathit{Au},u\in U\}.$

$K_n=\{X\subset R^n\mathrm{:}X-\mathit{компакт}\}.$

$AU=\alpha U,$

$S{S}^{-1}\mathit{AS}{S}^{-1}U=\alpha U,$

$S^{-1}\mathit{AS}\cdot S^{-1}U=S^{-1}\alpha U=\alpha S^{-1}U.$

$S^{-1}\mathit{AS}\cdot S^{-1}U=\alpha S^{-1}U,$

$S{S}^{-1}AU=\mathit{S\alpha }{S}^{-1}U,$

$AU=\alpha U.$

Лемма 2 доказана.

Пример 1. Пусть

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),U_1=R\times \{0\}.$

$n=\mathit{dim}\alpha U=\mathit{dim}AU\le \mathit{dim}\mathrm{\Im }A\le n.$

$\{0\}=\alpha U=AU,$

$U\subset \mathit{ker}A,$

$n\ge \mathit{dim}\mathit{ker}A\ge \mathit{dim}U=n.$

Лемма 3 доказана.

$\begin{array}{c}{\tilde{h}}_1={\beta }_1\mathrm{\Re }{h}_1\in U,\\ {\tilde{h}}_2={\beta }_2\mathrm{\Re }{h}_2\in U\mathrm{.}\end{array}$

$A^{k}U={\alpha }^{k}U,$

${\alpha }^{-k}{A}^k{\tilde{h}}_i\in U,i\in \{\mathrm{1,2}\}.$

При этом по построению

$\Vert {\alpha }^{-k}{A}^k{\tilde{h}}_i\Vert =\Vert {\alpha }^{-k}{A}^k{\beta }_i\mathrm{\Re }{h}_i\Vert =\left|{\alpha }^{-k}{\beta }_i\right|\Vert A^k\mathrm{\Re }{h}_i\Vert ={\left|\alpha \right|}^{-k}{\beta }_i{\left|{\lambda }_i\right|}^k\Vert \mathrm{\Re }{h}_i\Vert =$

${\left|\alpha \right|}^{-k}{\left|{\lambda }_i\right|}^k\Vert {\beta }_i\mathrm{\Re }{h}_i\Vert ={\left|\alpha \right|}^{-k}{\left|{\lambda }_i\right|}^k\Vert {\tilde{h}}_i\Vert .$

$1=\left|\frac{{\lambda }_1}{\alpha }\right|=\left|\frac{{\lambda }_2}{\alpha }\right|,$

$\left|{\lambda }_1\right|=\left|{\lambda }_2\right|=\left|\alpha \right|.$

Лемма 4 доказана.

$\left(\begin{array}{ccccc}\lambda & 1& \cdots & 0& 0\\ 0& \lambda & \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & \lambda & 1\\ 0& 0& \cdots & 0& \lambda \end{array}\right),\left(\begin{array}{ccccc}r{A}_{\phi }& I& \cdots & O& O\\ O& r{A}_{\phi }& \cdots & O& O\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ O& O& \cdots & r{A}_{\phi }& I\\ O& O& \cdots & O& r{A}_{\phi }\end{array}\right),$

$\lambda \in R0\},r>0,\phi \in$

$\Vert A^{k}h\Vert \ge \{\begin{array}{cc}k{\lambda }^{k-1}\Vert h\Vert ,& k\in N,\\ k{\lambda }^{k+1}\Vert h\Vert ,& -k\in N\mathrm{.}\end{array}$ 66

$A^{k}U={\alpha }^{k}U,$

${\alpha }^{-k}{A}^{k}h\in U.$

Лемма 5 доказана.

Доказательство. Доказательство следует из определения нетривиального собственного множества и леммы 3.

Сформулируем окончательный результат в виде следующей теоремы.

1. 1. $A$ обратима;
2. 2. $A$ диагонализируема, т.е. обладает $n$ линейно независимыми собственными векторами;
3. 3.все собственные значения матрицы $A$ равны по модулю $\left|\alpha \right|$ ;
4. 4. $U\subset R^n$ является нетривиальным собственным множеством $A$ тогда и только тогда, когда $S^{-1}U$ является нетривиальным собственным множеством $\Lambda$ , где

$A=\mathit{\alpha S}\Lambda S^{-1},$

$\Lambda =\mathit{diag}\left(\underset{n_1}{\underbrace{1,\dots \mathrm{,1}}},\underset{n_2}{\underbrace{-1,\dots ,-1}},A_{{\phi }_1},\dots ,A_{{\phi }_{n_3}}\right),$ 77

$A_{\phi }=\left(\begin{array}{cc}\cos \phi & \sin \phi \\ -\sin \phi & \cos \phi \end{array}\right),\phi \in$

Доказательство. Доказательство следует непосредственно из лемм 2–7.

Оценка времени быстродействия на основе аппарата собственных множеств

$U_1\times \dots \times U_m+X_1\times \dots \times X_m=(U_1+X_1)\times \dots \times (U_m+X_m).$

$⟨u_1+x_1,\dots ,u_m+x_m⟩\in (U_1+X_1)\times \dots \times (U_m+X_m),$

$U_1\times \dots \times U_m+X_1\times \dots \times X_m\subset (U_1+X_1)\times \dots \times (U_m+X_m).$

$⟨y_1,\dots ,y_m⟩=⟨u_1+x_1,\dots ,u_m+x_m⟩=$

$⟨u_1,\dots ,u_m⟩+⟨x_1,\dots ,x_m⟩\in U_1\times \dots \times U_m+X_1\times \dots \times X_m.$

$(U_1+X_1)\times \dots \times (U_m+X_m)\subset U_1\times \dots \times U_m+X_1\times \dots \times X_m.$

Лемма 8 доказана.

$\widehat{N}(x_0,\alpha ,U)=\{\begin{array}{cc}\mu (x_0,U),& \alpha =1,\\ \frac{-\ln (1-(\alpha -1)\mu (x_0,U))}{\ln \alpha },& \alpha \ne 1.\end{array}$

$\mu (x,U)=\mathit{inf}\{\alpha >0\mathrm{:}x\in \alpha U\}.$

$[\gamma ]=\mathit{min}\{k\in Z\mathrm{:}\gamma \le k\}.$

Получим представление 4 для важного частного случая системы .

$A=\mathit{diag}(A_1,\dots ,A_m)\in R^{n\times n},$

$U=U_1\times \dots \times U_m\subset R^n.$

Тогда

1. 1.для всех $N\in N$ верно представление

1. 2.для произвольного $x_0\in R^n$ , удовлетворяющего условию $N_{\mathit{min}}<\infty$ , включение $x_0\in X(N)$ верно тогда и только тогда, когда

$N\ge \underset{i=\overline{1,m}}{\mathit{max}}\widehat{N}(x_{0,i},{\alpha }_i,-U_i),$

1. 3. при этом верно равенство

$A^{-k}U=\mathit{diag}(A_1^{-k},\dots ,A_m^{-k})U_1\times \dots \times U_m=$

$A_1^{-k}{U}_1\times \dots \times A_m^{-k}{U}_m={\alpha }_1^{-k}{U}_1\times \dots \times {\alpha }_m^{-k}{U}_m.$

Отсюда в силу лемм 1 и 8 следует пункт 1 теоремы 2.

что с учетом определения функционала Минковского эквивалентно неравенствам

$\{\begin{array}{cc}N\ge \mu (x_{0,i},-U_i),& {\alpha }_i=1,\\ 1-{\alpha }_i^{-N}\ge ({\alpha }_i-1)\mu (x_{0,i},-U_i),& {\alpha }_i>1,\\ 1-{\alpha }_i^{-N}\le ({\alpha }_i-1)\mu (x_{0,i},-U_i),& 0<{\alpha }_i<1,\end{array}$

$N\ge \{\begin{array}{cc}\mu (x_{0,i},-U_i),& {\alpha }_i=1,\\ \frac{-\ln (1-({\alpha }_i-1)\mu (x_{0,i},-U_i))}{\ln {\alpha }_i},& {\alpha }_i\ne 1,\end{array}=\widehat{N}(x_{0,i},{\alpha }_i,U_i).$

Отсюда следует пункт 2 теоремы 2. А в совокупности с 3 и пункт 3.

Теорема 2 доказана.

Тогда

$\overline{N_{\mathit{min}}}\le N_{\mathit{min}}\le \underset{̲}{N_{\mathit{min}}}.$

$\underset{̲}{X}(N)\subset X(N)\subset \bar{X}(N),$

$\left[\underset{i=\overline{1,m}}{\mathit{max}}\widehat{N}(y_{0,i},{\alpha }_i,-{\bar{U}}_i)\right]\le N_{\mathit{min}}\le \left[\underset{i=\overline{1,m}}{\mathit{max}}\widehat{N}(y_{0,i},{\alpha }_i,-{\underset{̲}{U}}_i)\right],$

${\underset{̲}{U}}_1\times \dots \times {\underset{̲}{U}}_m\subset S^{-1}U\subset {\bar{U}}_1\times \dots \times {\bar{U}}_m.$

$X(N)=S\tilde{X}(N).$

Для краткости введем обозначения:

$\underset{̲}{U}={\underset{̲}{U}}_1\times \dots \times {\underset{̲}{U}}_m,\bar{U}={\bar{U}}_1\times \dots \times {\bar{U}}_m.$

$\underset{̲}{N_{\mathit{min}}}=\left[\underset{i=\overline{1,m}}{\mathit{max}}\widehat{N}(y_{0,i},{\alpha }_i,-{\underset{̲}{U}}_i)\right].$

Тогда в силу леммы 9 теорема 3 полностью доказана.

${\bar{U}}_i=U_i\underset{\left(y_1^{{\rm T}},\dots ,y_m^{{\rm T}}\right)\in S^{-1}U}{\mathit{max}}\mu (y_i,U_i),i=\overline{1,m}.$ 88

Численные расчеты времени быстродействия

$S=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 2& 0\end{array}\right),S^{-1}\left(x_0^1,\dots ,x_0^5\right)=\left(\begin{array}{ccccc}-76& -32& 27& 99& 92\\ -72& -74& 8& 29& -31\\ -2& -4& 69& 44& 67\end{array}\right).$

$A_1=S\left(\begin{array}{ccc}0.5& 0& 0\\ 0& 0.4& 0\\ 0& 0& 0.7\end{array}\right)S^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0.4667& 0& 0.0333\\ 0& 0.7& 0\\ 0.0667& 0& 0.4333\end{array}\right),$

$\underset{̲}{U}={\underset{̲}{U}}_1\times {\underset{̲}{U}}_2\times {\underset{̲}{U}}_3=[-{u\text{'}}_1;{u\text{'}}_1]\times [-{u\text{'}}_2;{u\text{'}}_2]\times [-{u\text{'}}_3;{u\text{'}}_2],$

${u\text{'}\text{'}}_1=\frac{2}{3},{u\text{'}\text{'}}_2=\frac{1}{3},{u\text{'}\text{'}}_3=1.$

${u\text{'}}_1=0.35,{u\text{'}}_2=0.18,{u\text{'}}_3=0.12.$

$\widehat{N}(y_{\mathrm{0,1}},{\alpha }_1,[-{u\text{'}\text{'}}_1;{u\text{'}\text{'}}_1])=1.4427\ln \left(1+0.75\left|y_{\mathrm{0,1}}\right|\right),$

$6\le N_{\mathit{min}}(x_0^1,A_1,U_1)\le \mathrm{7,6}\le N_{\mathit{min}}(x_0^2,A_1,U_1)\le 7,$

$A_2=S\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 0.5\end{array}\right)S^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1/3& 0& 2/3\\ 0& 1/2& 0\\ 4/3& 0& -1/3\end{array}\right),$

$S^{-1}{U}_2=\{u\in R^3\mathrm{:}{u}^{{\rm T}}H\text{'}u\le 1\},H\text{'}=S^{{\rm T}}\mathit{HS}=\left(\begin{array}{ccc}4& 5& 0\\ 5& 13& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right).$

$S^{-1}{\bar{U}}_1=\left\{u\in R^2\mathrm{:}{u}^{{\rm T}}\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 5& 13\end{array}\right)u\le 1\right\},\mu (x,{\bar{U}}_1)=\sqrt{4x_1^2+10x_1{x}_2+13x_2^2}.$

${\underset{̲}{U}}_1^{\text{'}}=\frac{1}{\sqrt{1.1647}}{\bar{U}}_1,{\underset{̲}{U}}_2^{\text{'}}=0.1{\bar{U}}_2,$

${\underset{̲}{U}}_2^{\text{'}\text{'}}=\frac{1}{\sqrt{1.0143}}{\bar{U}}_1,{\underset{̲}{U}}_2^{\text{'}\text{'}}=0.01{\bar{U}}_2.$

$\widehat{N}(y_{\mathrm{0,1}},y_{\mathrm{0,2}},{\alpha }_1,-{\bar{U}}_1)=\sqrt{4y_{\mathrm{0,1}}^2+10y_{\mathrm{0,1}}{y}_{\mathrm{0,2}}+13y_{\mathrm{0,2}}^2},$

$382\le N_{\mathit{min}}(x_0^1,A_2,U_2)\le \mathit{min}\{\mathrm{412,384}\}=384,$

$A_3=S\left(\begin{array}{ccc}0.9& 0& 0\\ 0& 0.45\sqrt{2}& 0.45\sqrt{2}\\ 0& -0.45\sqrt{2}& 0.45\sqrt{2}\end{array}\right)S^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0.6+0.15\sqrt{2}& -0.45\sqrt{2}& 0.3-0.15\sqrt{2}\\ 0.15\sqrt{2}& 0.45\sqrt{2}& -0.15\sqrt{2}\\ 0.6-0.3\sqrt{2}& 0.9\sqrt{2}& 0.3+0.3\sqrt{2}\end{array}\right),$

$\underset{̲}{U}=B_{R\text{'}}(0),\bar{U}=B_{R\text{'}\text{'}}(0),\mu (x,B_R(0))=\frac{\Vert x\Vert }{R}.$

$\widehat{N}(y_0,{\alpha }_1,-\bar{U})=9.4912\ln \left(1+0.0707\Vert y_0\Vert \right),$

$21\le N_{\mathit{min}}(x_0^1,A_3,U_3)\le \mathrm{31,19}\le N_{\mathit{min}}(x_0^2,A_3,U_3)\le 28,$

Заключение

В статье рассмотрена задача быстродействия для стационарной линейной дискретной системы с ограниченным управлением. В частности, разработан метод априорного оценивания оптимального времени быстродействия. Для решения поставленной задачи построен аппарат собственных множеств линейного отображения. Доказано, что нетривиальные собственные множества существует только для диагонализируемых матриц, у которых все собственные значения равны по модулю. Также удается свести задачу построения такого множества к аналогичной задаче для вещественной жордановой формы исходной матрицы.

Полученные в разделе 4 оценки времени быстродействия базируется на приведении матрицы системы к ее вещественной жордановой форме. Это позволяет провести декомпозицию исходной системы так, чтобы в каждой подсистеме матрица обладала равными по модулю собственными значениями, а следовательно, и нетривиальными собственными множествами. Данные множества могут быть использованы для построения внутренних и внешних аппроксимаций исходных ограничений на управление, что позволит получить искомые оценки времени быстродействия.

Установлено, что точность полученных методов зависит от большого числа параметров: от собственных значений и устойчивости системы, от формы выбранных для аппроксимации нетривиальных собственных множеств, от начального состояния и выбора внутренней аппроксимации. Варьируя различные параметры, можно добиться более качественных оценок. Дальнейшего изучения требуют методы, позволяющие определить оптимальный набор параметров.

1. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИИЛ, 1960.
2. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.:Наука, 1969.
3. Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами. М.: Наука, 1973.
4. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их приложения в системах оптимизации. М.:Наука, 1982.
5. Ибрагимов Д.Н., Сиротин А.Н. О задаче оптимального быстродействия для линейной дискретной системы с ограниченным скалярным управлением на основе множеств 0-управляемости // АиТ. 2015. № 9. С. 3–30. DOI: 10.1134/S0005117915090015
6. Ибрагимов Д.Н., Сиротин А.Н. О задаче быстродействия для класса линейных автономных бесконечномерных систем с дискретным временем и ограниченным управлением // АиТ. 2017. № 10. C. 3–32. DOI: 10.1134/S0005117917100010
7. Ибрагимов Д.Н. О задаче быстродействия для класса линейных автономных бесконечномерных систем с дискретным временем, ограниченным управлением и вырожденным оператором // АиТ. 2019. № 3. C. 3–25. DOI: 10.1134/S0005117919030019
8. Ибрагимов Д.Н., Новожилкин Н.М., Порцева Е.Ю. О достаточных условиях оптимальности гарантирующего управления в задаче быстродействия для линейной нестационарной дискретной системы с ограниченным управлением // АиТ. 2021. № 12. С. 48–72. DOI: 10.31857/S0005231021120047.
9. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Физматлит, 2012.
10. Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. М.:Наука, 1975.
11. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Б.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969.
12. Пропой А.И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов. М.: Наука, 1973.
13. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.
14. Сиротин А.Н., Формальский А.М. Достижимость и управляемость дискретных систем при ограниченных по величине и импульсу управляющих воздействиях // АиТ. 2003. № 12. С. 17–32.
15. Holtzman J.M., Halkin H. Directional convexity and the maximum principle for discrete systems // J. SIAM Control. V. 4. No. 2. 1966. P. 263–275. DOI: 10.1137/0304023
16. Johnson C.R. Eigenset Generalizations of the Eigenvalue Concept // Journal of research of the National Bureau of Standards. V. 82. No. 2. P. 1977. 133–136. DOI: 10.6028/jres.082.013
17. Kurzhanskiy A., Varaiya P. Ellipsoidal Techniques for Reachability Analysis of Discrete-Time Linear Systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 2007. V. 52. No.1. P. 26–38. DOI: 10.1109/TAC.2006.887900
18. Lin X. Zhang W. A maximum principle for optimal control of discrete-time stochastic Systems with multiplicative noise // IEEE Trans. Automatic Control. V. 60. No. 4. 2015. P. 1121–1126. DOI: 10.1109/TAC.2014.2345243
19. Murota K. Eigensets and power products of a bimatroid // Advances in Mathematics. V. 80. No. 1. 1990. P. 78–91. DOI: 10.1016/0001-8708(90)90015-F
20. Wang G., Yu Z. A Pontryagin's maximum principle for non-zero sum differential games of BSDEs with applications // IEEE Trans. Autom. Control. V. 55. No. 7. 2010. P. 1742–1754.
21. Weibel C. Minkowski sums of polytopes: combinatorics and computation. Suisse: EPFL, 2007.
22. Wu Z. A general maximum principle for optimal control of forward-backward stochastic systems // Automatica. V. 49. No. 5. 2013. P. 1473–1480.