Уточнение коэффициента сжатия для внешней оценки предельного множества 0-управляемости линейной дискретной системы с ограниченным управлением

Симкина А.В.

doi:10.17759/mda.2024140408

Моделирование и анализ данных
2024. Том 14. № 4. С. 115–128
doi:10.17759/mda.2024140408
ISSN: 2219-3758 / 2311-9454 (online)

Уточнение коэффициента сжатия для внешней оценки предельного множества 0-управляемости линейной дискретной системы с ограниченным управлением

2

Симкина А.В.

Аннотация

Рассматривается задача построения наилучшей внешней оценки предельного множества управляемости для линейной дискретной системы с выпуклыми ограничениями на управление. Построение оценки базируется на принципе сжимающих отображений. Оптимальные параметры оценивания определяются на основе анализа результатов численного моделирования. Приведены примеры.

Общая информация

Ключевые слова: линейная дискретная система, множество управляемости, множество достижимости, принцип сжимающих отображений, коэффициент сжатия

Рубрика издания: Методы оптимизации

Тип материала: научная статья

DOI: https://doi.org/10.17759/mda.2024140408

Получена: 29.10.2024

Принята в печать: 11.11.2024

Для цитаты: Симкина А.В. Уточнение коэффициента сжатия для внешней оценки предельного множества 0-управляемости линейной дискретной системы с ограниченным управлением // Моделирование и анализ данных. 2024. Том 14. № 4. С. 115–128. DOI: 10.17759/mda.2024140408

Полный текст

Введение

При решении задач управления динамическими системами нередко приходится учитывать различные ограничения, связанные с техническими аспектами изучаемой системы. Такого рода ограничения приводят к тому, что система из заданного начального состояния может быть переведена в ограниченное множество терминальных состояний даже при бесконечном временном горизонте. Данный факт делает актуальным исследование не только вопросов достижимости и управляемости различных динамических систем, но и разработку методов построения и оценивания предельных множеств достижимости и управляемости для произвольной системы управления. Кроме того, множества управляемости и достижимости могут быть использованы в ряде задач оптимального управления для формирования позиционного управления [1] для систем с дискретным временем.

На текущий момент по данной тематике можно выделить два основных направления: исследование отдельных состояний на управляемость [2-5] и геометрические методы построения множеств управляемости и достижимости [6-9].Так, при исследовании нелинейных систем удается получить только общие свойства множеств управляемости [2] либо их оценки [8,9]. Для случая линейных уравнений динамики по состоянию и управлению оказывается возможно построение более конструктивных результатов для различных классов систем: периодических [10], переключаемых [3], с положительным управлением [6]. Наиболее строгие результаты сформулированы для случая компактных и выпуклых ограничений на значения управления [1,7], допускающие даже описание предельных множеств достижимости и управляемости [4,5,11].

В [12] для линейных дискретных систем со скалярным управлением, на которое наложено суммарное ограничение 1-го порядка, показано, что в случае устойчивых систем возможно явным образом найти предельное множество достижимости, представляющее собой выпуклый, симметричный относительно нуля многогранник. Для ограничений более высокого порядка описание предельных множеств достижимости и 0-управляемости получено посредством использования опорных полупространств [13].

Существенным недостатком этих методов является невозможность заранее определить точность построенных оценок. В данной статье рассматривается развитие принципиально нового подхода к численному моделированию предельных множеств управляемости на основе принципа сжимающих отображений, который был предложен в [11]. Замыкание предельного множества управляемости является неподвижной точкой сжимающего отображения заданного в пространстве Хаусдорфа, однако ранее не было способа определить оптимальное значение шага квантования, определяюшего значение коэффициента сжатия. В данной статье проведён численный анализ зависимости погрешности внешней оценки предельного множества 0-управляемости от выбранного шага квантования при ограниченных вычислительных ресурсах, что позволяет определить оптимальное значение данного параметра, характеризующего наиболее точную оценку предельного множества 0-управляемости.

Постановка задачи

Рассматривается линейная дискретная система с ограниченным управлением

(A, U)

:

\begin{matrix} x (k + 1) = Ax (k) + u (k), \\ x (0) = x_{0}, u (k) \in U, k \in N \cup {0}, \end{matrix} (1)

где

x (k) \in R^{n}

– вектор состояния системы,

u (k) \in R^{n}

– управляющее воздействие,

A \in R^{n \times n}

– матрица системы (1),

U \subset R^{n}

– множество допустимых значений управлений. Предполагается, что

U

– выпуклый компакт,

0 \in \int U

.

Для произвольного

N \in N \cup {0}

обозначим через

X (N) \subset R^{n}

множество 0-управляемости системы (2) за

N

шагов, т.е. множество тех начальных состояний, из которых систему (1) возможно перевести в 0 за

N

шагов посредством выбора допустимых управляющих воздействий:

X (N) = {\begin{matrix} \begin{matrix} {x_{0} \in R^{n} : \exists u (0), \dots, u (N - 1) \in U : x (N) = 0}, & N \in N, \\ {0}, & N = 0. \end{matrix} \end{matrix} (2)

Требуется построить наилучшую внешнюю оценку предельного множества 0-управляемости

X_{\infty}

- множества тех начальных состояний, из которых систему

(A, U)

можно перевести в начало координат за любое конечное число шагов:

X_{\infty} = {x_{0} \in R^{n} : \exists N \in N, u (0), \dots, u (N - 1) \in U : x (N) = 0}

С учетом (2) также справедливо представление

X_{\infty} = N = 0 \infty X (N) . (3)

Известные теоретические результаты

Исследование в данной статье базируется на следующих известных утверждениях.

Обозначим через

K_{n}

множество всех компактов в

R^{n}

, а через

ρ_{H}

– расстояние Хаусдорфа [14]:

K_{n} = {X \subset R^{n} : X - компакт},

ρ_{H} (X, Y) = \max {\{}^{} x \in X {\inf_{y \in Y} || x - y ||;}^{} y \in Y \inf_{x \in X} || x - y ||; \}

Теорема 1. [11, теорема 2] Пусть все собственные значения матрицы

A \in R^{n \times n}

по модулю строго больше 1, семейство

{X (N)}_{N = 0}^{\infty}

определяется соотношениями (2), множество

X_{\infty}

определяется соотношением (3), отображение

T : K_{n} \to K_{n}

имеет вид

T (X) = A^{- 1} X + (- A^{- 1} U) . (4)

Тогда

существует $M \in N$ такое, что отображение $T^{M} = \underset{M}{\underset{⏟}{T \circ T \dots \circ T}}$ является сжимающим с некоторым коэффициентом сжатия $α \in [0; 1);$
$\bar{X_{\infty}}$ - единственная неподвижная точка отображения $T$ в пространстве $(K n, ρ_{H});$
справедлива оценка

ρ_{H}

,

X (NM) \leq \frac{α^{N}}{1 - α} ρ_{H} (X (M), {0}) .

Внешняя оценка предельного множества 0-управляемости на основе принципа сжимающих отображений представлена в следующей теореме.

Теорема 2. [11, теорема 3]. Пусть все собственные значения матрицы

A \in R^{n \times n}

по модулю строго больше 1, семейство

{X (N)}_{N = 0}^{\infty}

определяется соотношениями (2), множество

X_{\infty}

определяется соотношением (3), величина

M \in N

выбрана так, чтобы

T^{M}

было сжимающим отображением с коэффициентами сжатия

α_{1}, α_{\infty} \in [0; 1),

которые ассоциированы с нормами

|| \cdot | |_{1}, || \cdot | |_{\infty}

в пространстве

R^{n}

соответственно. Тогда

Теорема позволяет строить оценки с любой наперёд заданной точностью

R_{p}

. Погрешность зависит от выбора шага квантования

M

и параметра

p

пространства

R_{p}^{n},

который определяет норму, ассоциированнyю с нормой пространства Хаусдорфа

K_{n}

. В качестве параметров

p

рассматриваем

1

и

\infty,

так как в этом случае оценки будут представлять собой многогранники. Параметр

M

влияет на подсчёт коэффициента сжатия

α_{p}

и . Коэффициент сжатия

α_{p}

рассчитывается как операторная норма матрицы

A^{- M}

и зависит от выбора шага квантования

M

:

(5)

Известны три аналитические формулы вычисления коэффициентов сжатия

α_{1}, α_{\infty}

[14]:

Зафиксируем значение

N_{\max} \in N

. Целью работы является минимизация погрешности внешней оценки предельного множества 0-управляемости от параметра

M

при ограничении то есть следует решить следующую оптимизационную задачу:

(6)

Анализ результатов численного моделирования

В общем случае решить задачу (6) не представляется возможным. По этой причине выбор оптимального значения

M

будем осуществлять на основе анализа экспериментальных данных.

Рассмотрим на примере двумерной системы с собственным значением

1.56

кратности

2

актуальность поставленной задачи (6), сравнив оценки для различных значений параметра

M

. Пусть


а) $p = 1, M = 1, α_{1} = 0.9615, N_{\max} = 30$	б) $p = 1, M = 3, α_{\infty} = 0.6585, N_{\max} = 30$

Рис. 1. Внутренняя оценка

X_{\infty}

красным цветом, внешняя оценка

X_{\infty}

зелёным цветом

Как видно из Рис. 1, выбор значения

M

влияет на погрешность внешних оценок предельного множества 0-управляемости. Истинное предельное множество 0-управляемости лежит в зазоре между внутренней оценкой (множества 0-управляемости за

N

шагов) и внешней оценкой. При

M

=3 точность оценивания оказывается значительно выше, чем при

M

=1, что определяет целесообразность решения задачи (6).

Рассмотрим системы разной размерности с различными типа собственных значений матрицы системы.

Пример 1. Пусть

Матрица

A_{1}

имеет действительные собственные значения

λ_{1} = 5.27

и

λ_{2}

1.04

. Рассмотрим зависимость погрешности

R_{p}

от выбора значения при

N_{\max} = 100.


а) $p = 1, M = 1, α_{1} = 0.997$	б) $p = \infty, M = 4, α_{\infty} = 0.992$

Рис. 2. Зависимость

R_{p}

от выбора

M

для

(A_{1}, U_{1}) .

В случае с

p = 1

отображение

T^{M}

становится сжимающим, начиная с

M = 1,

а в случае

p = \infty

- начиная с

M = 4.

Следовательно, для Рис. 2(б) параметры

M < 4

исключены. Для Рис. 2(а) для сохранения масштаба исключены из рассмотрения параметры

M = 1

и

M = 2.

Проверим, есть ли зависимость результатов численного моделирования от выбора множества допустимых значений управлений

U

. Для этого рассмотрим при той же матрице

A_{1}

следующее множество

U_{2}

:

(7)

Аналогичные численные расчеты представлены на Рис. 3.


а) $p = 1$	б) $p = \infty$

Рис. 3. Зависимость

R_{p}

от выбора

M

для

(A_{1}, U_{2}) .

Результаты для системы

(A_{1}, U_{2})

идентичны результатам для системы

(A_{1}, U_{1}) .

Пример 2. Пусть

.

Матрица

A_{2}

имеет коплексно-сопряженные собственные значения

λ_{1} = - 0.55 + 1.21 I и λ_{2} = - 0.55 - 1.21 I

. Рассмотрим зависимость погрешности

R_{p}

от выбора значения .


а) $p = 1, M = 1, α_{1} = 0.994$	б) $p = \infty, M = 1, α_{\infty} = 0.994$

Рис. 4. Зависимость

R_{p}

от выбора

M

для

(A_{2}, U_{1}) .

В случае с

p = 1

и

p = \infty

отображение

T^{M}

становится сжимающим, начиная с

M = 1.

Для сохранения масштаба на Рис. 4(а) параметры

M < 4

исключены, а для Рис. 4(б) для сохранения масштаба исключены из рассмотрения параметры

M = 1

,

M = 2, M = 3.

Проверим, есть ли зависимость результатов численного моделирования от выбора множества допустимых значений управлений

U

. Для этого рассмотрим при той же матрице

A_{2}

множество управляющих воздействий

U_{2}

(7).

Аналогичные численные расчеты представлены на Рис. 5.


а) $p = 1$	б) $p = \infty$

Рис. 5. Зависимость

R_{p}

от выбора

M

для

(A_{2}, U_{2}) .

Результаты для системы

(A_{2}, U_{2})

идентичны результатам для системы

(A_{2}, U_{1}) .

Пример 3. Пусть

Матрица

A_{3}

имеет единственное собственное значение кратности

2

λ_{1} = 1.51 .

Рассмотрим зависимость погрешности

R_{p}

от выбора значения .


а) $p = 1, M = 1, α_{1} = 0.99$	б) $p = \infty, M = 1, α_{\infty} = 0.99$

Рис. 6. Зависимость

R_{p}

от выбора

M

для

(A_{3}, U_{1}) .

В случае с

p = 1

и

p = \infty

отображение

T^{M}

становится сжимающим, начиная с

M = 1.

Для сохранения масштаба на Рис. 6 параметры

M < 4

исключены.

Проверим, есть ли зависимость результатов численного моделирования от выбора множества допустимых значений управлений

U

. Для этого рассмотрим при той же матрице

A_{3}

множество управляющих воздействий

U_{2}

(7).

Аналогичные численные расчеты представлены на Рис. 7.


а) $p = 1$	б) $p = \infty$

Рис. 7. Зависимость

R_{p}

от выбора

M

для

(A_{3}, U_{2}) .

Результаты для системы

(A_{3}, U_{2})

идентичны результатам для системы

(A_{3}, U_{1}) .

Пример 4. Рассмотрим трёхмерную систему. Пусть

Матрица

A_{4}

имеет собственные значения

λ_{1} = - 0.55 + 1.2 I, λ_{2} = - 0.55 - 1.2 I, λ_{3} = 1.33

. Рассмотрим зависимость погрешности

R_{p}

от выбора значения .


а) $p = 1, M = 1, α_{1} = 0.99$	б) $p = \infty, M = 1, α_{\infty} = 0.99$

Рис. 8. Зависимость

R_{p}

от выбора

M

для

(A_{4}, U_{3}) .

Проверим, есть ли зависимость результатов численного моделирования от выбора множества допустимых значений управлений

U

. Для этого рассмотрим при той же матрице

A_{3}

множество управляющих воздействий

U_{4}

.

Аналогичные численные расчеты представлены на Рис. 9.


а) $p = 1$	б) $p = \infty$

Рис. 9. Зависимость

R_{p}

от выбора

M

для

(A_{4}, U_{4}) .

Из графиков примеров видно, что скачкообразный рост возникает при уменьшении значения целой части Например, на Рис. 9 при переходе от

M = 18

к

M = 19

погрешность

R_{p}

растет. Связано это с тем, что оптимальное значение

N

при решении задачи (6) имеет вид

Т.е. последнее множество 0-управляемости, используемое для построения внешней оценки предельного множества, имеет номер

N,

а множества с номерами фактически никак не используются.

Значения

М,

после которых происходит изменение целой части , выделены красным цветом. Начиная с

некоторого M_{0},

красные точки начинают монотонно убывать, в связи с чем для минимизации погрешности нужно брать самое большое значение

М,

на которое

N_{\max}

делится нацело, для примеров 1-3 это

50

, для примера 4 это

18

.

Заключение

В статье рассмотрена задача выбора шага квантования внешней оценки предельного множества 0-управляемости линейной дискретной системы с ограниченным управлением.

Множество допустимых значений управлений предполагается выпуклым компактом, содержащим начало координат. Структура предельного множества 0-управляемости зависит от нормальной жордановой формы и собственных значений матрицы системы, в связи с чем были рассмотрены системы с тремя типами собственных значений. Для каждого типа было получено экспериментальное подтверждение выбора оптимального значения шага квантования

M

. Решение поставленной задачи было произведено на основе анализа экспериментальных данных, полученных в ходе численного моделирования. Приведены графики зависимости погрешности

R_{p}

построения внешних оценок на основе метода сжимающих отображения от шага квантования

M

. Погрешность

R_{p}

монотонно убывает на каждом множестве тех

M

, для которых . Следует рассматривать только те

M

, для которых При рассмотрении таких

M

погрешность

R_{p},

как правило, демонстрирует монотонное убывание, начиная с некоторого

M_{0}

Литература

Ибрагимов Д.Н. О задаче быстродействия для класса линейных автономных бесконечномерных систем с дискретным временем, ограниченным управлением и вырожденным оператором // Автоматика и Телемеханика. 2019. №3. C. 3-25.
Colonius F. Controllability Properties and Invariance Pressure for Linear Discrete-Time Systems // Journal of Dynamics and Differential Equations. 2022. № 34. P. 5-28.
Ge S. S. Reachability and controllability of switched linear discrete-time systems // IEEE Transactions on Automatic Contr l. 2001. V.46, No. 9. P. 1437–1441.
Heemels W. P. Null controllability of discrete-time linear systems with input and state constraints // 47th IEEE Conference on Decision and Control. Cancun. - 2008. - P. 3487–3492.
Kaba M. D. A spectral characterization of controllability for linear discrete-time systems with conic constraints // SIAM Journal on Control and Optimization. 2015. Vol. 53, No. 4. P. 2350–2372.
Benvenuti L. The geometry of the reachability set for linear discrete-time systems with positive controls // SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. 2006. Vol. 28, No. 2. P. 306–325.
Darup M. S. On general relations between nullcontrollable and controlled invariant sets for linear constrained systems // 53rd IEEE Conference on Decision and Control. Los Angeles. 2014. P. 6323–6328
Точилин П. А. О построении невыпуклых аппроксимаций множеств достижимости кусочно-линейных систем // Дифференциальные уравнения. 2015. Т. 51, № 11. С. 1503–1515.
Kuntsevich V. M. Attainability Domains for Linear and Some Classes of Nonlinear Discrete Systems and Their Control// J. Autom. Inform. Sci. 2010. V. 42, No. 1. P. 1–18.
Fucheng L. Optimal preview control for linear discrete-time periodic systems// Mathematical Problems in Engineering. 2019. P. 1–11.
Берендакова А.В., Ибрагимов Д.Н. О методе построения внешних оценок предельного множества управляемости для линейной дискретной системы с ограниченным управлением // Автоматика и телемеханика. 2023. № 2. C. 3--34.
Ибрагимов Д.Н., Осокин А.В., Сиротин А.Н., Сыпало К.И. О свойствах предельных множеств управляемости для класса неустойчивых линейных систем с дискретным временем и $l_1$-ограничениями // Изв. РАН. ТиСУ. 2022. № 4. С. 3--21.
Ибрагимов Д.Н., Сиротин А.Н. О некоторых свойствах множеств ограниченной управляемости для стационарных линейных дискретных систем с суммарным ограничением на управление// Изв. РАН. ТиСУ. 2023. № 6. С. 3--32.
Колмогоров А.Н., Фомин. С.В. Элементы теории функций и функционального анализа // М.: Физматлит, 2012.

Информация об авторах

Симкина Анастасия Вячеславовна, аспирант, ассистент кафедры теории вероятностей и компьютерного моделирования, Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет) (МАИ), Москва, Россия, ORCID: https://orcid.org/0009-0008-8910-5728, e-mail: abv1998@yandex.ru

Метрики

Просмотров

Всего: 5
В прошлом месяце: 0
В текущем месяце: 5

Скачиваний

Всего: 2
В прошлом месяце: 0
В текущем месяце: 2

PlumX

Метрики публикации